■ 彭如武  张劲松

《义务教育数学课程课标（2011年版）》在“四基”中提出了基本数学思想，并且将基本的数学思想归纳为：抽象思想、推理思想、模型思想。基本的数学思想与一般数学思想有什么不同？它在教学中有什么表现形式？我们如何去体验、感悟？针对以上问题，笔者有如下认识。

“基本数学思想”与“数学思想”的区别

第五届国家级教学名师、中国教育学会副会长史宁中教授认为，数学教学中通常说的等量代换、数形结合等，可以看成数学思想方法，但不是数学基本思想。数学基本思想必须满足两个基本条件：一是数学产生和发展所必须依赖的那些思想；二是学习数学应该具有的基本思维特征。由此，他把数学基本思想归结为三个核心词：抽象、推理、模型。其它的分类思想、数形结合思想等，都是数学基本思想的派生，它们是从属关系。

“基本数学思想”与“数学思想”的联系

上位的基本数学思想与下位的一般数学思想在数学知识中是如何应孕而生的呢？

抽象思想主要蕴含在数学知识的产生过程中。史宁中教授认为，抽象指脱离了具体内容的形式和关系，因此具有广泛的应用性。数学的抽象与其它学科的抽象不一样，它舍弃了事物的其他各个方面仅保留数量关系和空间形式。但在抽象之前必须有研究对象，对研究对象的抽象过程中常常蕴含着分类思想与集合思想。数学抽象有基于现实原型的抽象和基本数学内部逻辑的抽象两种，但不管哪种抽象，都需要关注研究对象的共性，从变化的现象中抽象出数量或者图形中的不变规律，这里蕴含着变中抓不变的思想和极限思想。对抽象出来的规律用数学符号或关系术语进行表述，在这个过程中，蕴含着对应与符号的思想。所以，抽象思想的下位数学思想主要包括：分类思想、集合思想、变中不变的思想等。

推理思想主要蕴含在数学知识的发展过程中。数学知识的发展过程主要包括两个方面:一是在问题解决过程中产生新的知识，在这个过程中常常采用“化新为旧”“化难为易”“化曲为直”等策略,这里蕴含转化思想，如几何图形面积公式的推导；二是在逻辑推理过程中产生数学结论或验证数学结论，在这个过程中常常凭借经验和直觉，通过归纳或类比的方式推断得出新的数学结论，或者根据已有的数学事实和确定的法则，按照推理的法则证明数学结论,这里蕴含归纳思想、类比思想和演绎思想，如用字母表示数。因此，推理思想的下位数学思想主要包括：转化思想、归纳思想、类比思想、演绎思想等。

建模的思想主要蕴含在数学知识的应用过程中。数学模型是联系数学与现实世界的桥梁，它是从现实世界中来，又将运用到现实世界中去。在应用的过程中，需要先把现实世界中的问题进行量化和简化处理，再建立方程模型、函数模型、随机模型等，在求解中求得优化。因此，建模思想的下位数学思想主要包括：量化思想、简化思想、方程思想等。

一个知识点的教学往往是多个数学思想的渗透

教学中几乎没有单纯的一种数学思想支撑着整个教学过程，常常同时渗透着几种数学思想。如教学“平行四边形面积的计算”主要是渗透转化的思想，将平行四边形转化成长方形，同时还渗透着一一对应的思想（底对应长，宽对应高）、合情推理的思想（归纳与类比的运用）、模型的思想（面积公式的推导）等。（作者单位：南江县公山镇小学）